对一道“奇怪的”高中数学最大值问题解法的改进

Original 南宁许兴华许兴华数学 2022-07-17

（许兴华数学）

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对一道“奇怪的”高中数学最大值问题解法的改进

(南宁三中许兴华数学)

最近有一次高二数学考试，有位老师想出几道原创数学试题，让学生考完试后，用高中数学搜题软件“小猿搜题”、“作业帮”或“学霸君”都无法搜索到这些题目。其中的一道原创试题如下：

【原题目】已知直线l过点P(2，1)，与x轴、y轴的正半轴相交于A、B两点，三角形AOB（其中O为坐标原点）的内切圆半径r的最大值为多少？

（填空题）

当时，命题老师给出的解答如下：

后来，有老师发现，当内切圆的半径取最大值为1时，AB//y轴，即ABO构不成三角形，因此，本题的三角形内切圆的半径r不存在最大值！

于是，很多老师建议，题目改编如下就是正确的了：

【改正后的题目】已知直线l过点P(2,1)，与x轴、y轴的正半轴相交于A、B两点，求三角形AOB（其中O为坐标原点）的内切圆半径r的取值范围。

题目改正后，有两位老师不约而同地用了以下的解法（由于解法不正确，此处不标注两位老师的名字，大家应该可以理解。我们现在只作学术研究——讨论数学问题的正确解法，不讨论问题的解答谁对谁错！）：

(图2)

（图3）点击图片放大即可看清楚！

因此，有几位老师认为，r的取值范围应该是：[5/6，1）.

但笔者用“几何画板”进行探索后，发现上面的解答是有问题的.

由于笔者不知如何在微信公众号上面演示"动态的几何画板"，因此，笔者用列表的方式让大家看看当点A的位置从点D(2,0)向右边变化得越来越大时，圆半径r相应的变化情况：

从上面的探索可知，当点A趋向于2时r趋向于1/2；当点A趋向于正无穷大时r趋向于1。

故本题正确的答案应该是(1/2，1)。

然而，当我们认真观察上面的图2与图3的两位老师的解答时，似乎却没有发现任何问题......既然解答没有任何问题，那么这就奇怪了：为什么得出r的最小值为5/6不正确呢？

由上面的图2与图3，我们现在进行细致认真的检查：

（图4）

下图是用几何画板作出的r(x)，(0<x<1/2)的图像，它在给定的区间(0，1/2)上是增函数，这就验证了我们答案的正确性。

我们也可以只作出上面图4中f(x)，(0<x<1/2)的图像（下图），这时我们发现f(x)在区间(0，1/2)上是减函数——这也验证了我们答案的正确性。